離了個(gè)大譜！

Anthropic 還沒發(fā)布的科研版 Claude，在挑戰(zhàn)千禧年數(shù)學(xué)難題黎曼猜想的路上，意外搞出了一個(gè)此前沒人預(yù)料到的新結(jié)果。

先說最重要的，Claude 并沒有真正證明黎曼猜想。畢竟這可是從 1859 年一路困擾人類頂級(jí)數(shù)學(xué)家 167 年，至今還掛著 100 萬美元獎(jiǎng)金的終極 Boss。

(資料圖片僅供參考)

但在嘗試解題的過程中，它順著另一條研究路線繼續(xù)往前走，最后把一個(gè)與黎曼猜想密切相關(guān)的重要下界，從此前的 41.6% 一口氣提高到了 67.2%。

更抽象的是，讓 Claude 完成此次任務(wù)的 Anthropic 員工，甚至不是數(shù)學(xué)家。他在研究過程中提供的技術(shù)指導(dǎo)少得可憐，大部分時(shí)候負(fù)責(zé)的事情只有一個(gè)：

給 Claude 瘋狂輸出情緒價(jià)值。

主打一個(gè)賽博玄學(xué)，只要你足夠相信自己，沒準(zhǔn)數(shù)學(xué)難題都會(huì)先動(dòng)搖一下。(懂的都懂)

黎曼猜想的「血條」，真被 Claude 砍掉一大截了？

為了看懂 67.2% 到底意味著什么，得先簡(jiǎn)單介紹一下黎曼猜想。

1859 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在研究 zeta 函數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)函數(shù)的一系列特殊零點(diǎn)，與素?cái)?shù)在整個(gè)數(shù)字世界里的分布存在非常深刻的聯(lián)系。

你可以粗略把素?cái)?shù)理解成數(shù)字世界里的「底層代碼」，而黎曼 zeta 函數(shù)的零點(diǎn)，則記錄著這些代碼背后隱藏的某種規(guī)律。

黎曼猜想提出，所有重要的非平凡零點(diǎn)，應(yīng)該全部整整齊齊地位于復(fù)平面上一條特定的豎線上，也就是數(shù)學(xué)家所說的「臨界線」。

問題在于，一百多年過去了，無數(shù)數(shù)學(xué)大牛前赴后繼，誰也沒能嚴(yán)格證明所有零點(diǎn)都在那里，同樣沒人找到一個(gè)確定違反猜想的反例。

于是數(shù)學(xué)家換了一種思路。既然暫時(shí)證明不了 100%，那就先研究一個(gè)稍弱的問題：至少有多少比例的零點(diǎn)，可以被嚴(yán)格證明位于臨界線上？

過去幾十年，好幾代數(shù)學(xué)家沿著這條路線不斷推進(jìn)，最終把能夠嚴(yán)格證明的比例下界提高到了約 41.6%。

Claude 這次推進(jìn)的正是這個(gè)數(shù)字。從 41.6%，提高到 67.2%。

所以，千萬別把它理解成「黎曼猜想已經(jīng)完成了 67.2%」。67.2% 指的是 Claude 給出了新的論證，可以證明至少這么大比例的相關(guān)零點(diǎn)位于臨界線上，而黎曼猜想真正要求的是所有非平凡零點(diǎn)，也就是 100%。

數(shù)學(xué)研究當(dāng)然也不是游戲進(jìn)度條，從 67.2% 到 100% 更不意味著只?！缸詈?32.8%」。但單看這個(gè)長(zhǎng)期有人研究的相關(guān)問題，從 41.6% 提高到 67.2%，依然足夠顯眼。

60 個(gè) Agent，開始圍攻黎曼猜想

那么 Claude 到底是怎么辦到的？

故事的起點(diǎn)甚至有點(diǎn)草臺(tái)感。Anthropic 員工 Jarred Sumner 跑去給尚未發(fā)布的科研版 Claude 下達(dá)了一個(gè)多少有點(diǎn)不講道理的任務(wù)：

「認(rèn)真嘗試攻克黎曼猜想。」

更關(guān)鍵的信息是，Sumner 本人甚至不是數(shù)學(xué)家。他沒有提前規(guī)劃研究路線，也沒給 Claude 指定具體應(yīng)該用哪套數(shù)論工具，后面的數(shù)學(xué)選擇基本都交給模型自己完成。

Claude 最開始也沒創(chuàng)造什么奇跡。它一口氣生成并測(cè)試了大約 650 個(gè)思路，然后喜提 650 連敗，沒有一個(gè)能夠真正解決問題。

普通故事發(fā)展到這里，大概已經(jīng)可以整理實(shí)驗(yàn)報(bào)告，下班回家了。

Sumner 卻又讓 Claude 繼續(xù)，而根據(jù) Anthropic 的說法，他后續(xù)提供的很多輸入甚至只是「繼續(xù)」「相信自己」「堅(jiān)持下去」之類的鼓勵(lì)。

我嘞個(gè)豆，這多少有點(diǎn)賽博玄學(xué)了。

但 Claude 還真繼續(xù)了。接下來一天半，它開始協(xié)調(diào)大約 60 個(gè) Claude 子 Agent 深挖這個(gè)問題。這些 Agent 總計(jì)執(zhí)行約 2400 條 Shell 命令，寫了數(shù)百個(gè) Python 腳本，還針對(duì) 已知的 ζ 函數(shù)零點(diǎn)進(jìn)行了數(shù)千次數(shù)值檢查。

更關(guān)鍵的是，它們并非各算各的。

在 60 個(gè)子 Agent 中，有 2 個(gè)負(fù)責(zé)提出并發(fā)展最關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思路，13 個(gè)為它們提供了思路和啟發(fā)，30 個(gè)嘗試提出新的想法但沒有成功，另有 13 個(gè)擔(dān)任驗(yàn)證者，負(fù)責(zé)檢查論證是否正確，最后 2 個(gè)則協(xié)助撰寫了論文初稿。

到了這里，整個(gè)工作流已經(jīng)越來越不像「讓一個(gè)聊天機(jī)器人回答數(shù)學(xué)題」，更像臨時(shí)拉起了一支由幾十個(gè) AI 研究員組成的數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)。

在兩次論證過程中，Claude 消耗了整整 3100 萬個(gè)輸出 token。

Claude 做對(duì)了什么？

真正的突破，來自 Claude 對(duì)幾項(xiàng)既有數(shù)學(xué)工作的重新組合。

其中一條研究線可以追溯到數(shù)學(xué)家 Hugh Montgomery。1973 年，Montgomery 在研究 zeta 函數(shù)零點(diǎn)分布時(shí)提出了一系列重要技術(shù)，只不過其中部分方法需要預(yù)先假設(shè)黎曼猜想成立。

后來，Baluyot、Goldston、Suriajaya 和 Turnage-Butterbaugh 等數(shù)學(xué)家又發(fā)表了一系列研究，讓其中一些方法在不預(yù)設(shè)黎曼猜想成立的情況下也可以工作。

Claude 沿著這條線繼續(xù)尋找，又把它與數(shù)學(xué)家 Enrico Bombieri 在 2000 年發(fā)表的一項(xiàng)研究聯(lián)系到了一起。

https://eudml.org/doc/252338

換句話說，它并沒有憑空發(fā)明一整套此前不存在的數(shù)學(xué)理論，更有意思的地方在于，它從大量前人工作中找到了一個(gè)過去沒有被充分利用的組合方式。

從技術(shù)上說， Claude 選取了一個(gè)合適的有限維函數(shù)空間，并考察 Weil 厄米型在這個(gè)空間上的限制，其中 在線性代數(shù)的表述里，臨界線上的不同零點(diǎn)會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè)秩為 1 的非負(fù)結(jié)構(gòu)，而臨界線外成對(duì)出現(xiàn)的零點(diǎn)，則會(huì)貢獻(xiàn)一個(gè) signature 為 (1,1) 的不定塊。

隨后，它沒有將這些結(jié)構(gòu)分開處理，而是把整個(gè)空間放到一起研究， 同時(shí)允許表示這個(gè)厄米型的矩陣出現(xiàn)非對(duì)角項(xiàng)，再借助一階矩和二階矩信息，建立關(guān)于相應(yīng)矩陣秩的不等式。

連 Anthropic 在自己的技術(shù)說明里，都專門用了一個(gè)頗有人味的詞形容其中關(guān)鍵的一步：courage。也就是「膽量」。

比起算出矩信息本身， 真正讓結(jié)果發(fā)生變化的，是 Claude 敢于把線上零點(diǎn)貢獻(xiàn)的非負(fù)部分和線外零點(diǎn)產(chǎn)生的不定結(jié)構(gòu)放在同一個(gè)框架里處理，同時(shí)允許對(duì)應(yīng)矩陣存在非對(duì)角項(xiàng)。

最終，我們就得到了一個(gè) 67.2% 的數(shù)字。

所以與其說 Claude 是憑空領(lǐng)悟了什么「絕世神功」，更準(zhǔn)確的描述其實(shí)是，它把幾十年來不同數(shù)學(xué)家留下的方法重新排列組合，然后發(fā)現(xiàn)了一條此前沒有走通的路。

對(duì)于 AI 科研來說，后者可能反而更值得關(guān)注。

得出結(jié)果后，Claude 開始瘋狂給自己查重

結(jié)果出來以后，Claude 并沒有馬上宣布自己創(chuàng)造了數(shù)學(xué)史。

它先開始懷疑自己。畢竟做開放數(shù)學(xué)研究最尷尬的一種情況，就是興奮地發(fā)現(xiàn)一個(gè)「新定理」，最后才發(fā)現(xiàn)某位數(shù)學(xué)家?guī)资昵耙呀?jīng)寫進(jìn)論文了。

于是 Claude 讓不同子 Agent 重新檢查證明、主動(dòng)搜索反例，又從 arXiv 下載了 54 篇相關(guān)論文，檢查相同結(jié)果是不是早已經(jīng)被別人發(fā)表。

它甚至安排其他 Agent 盡量獨(dú)立地重新推導(dǎo)結(jié)果，用另一條路徑檢查原來的證明，隨后主動(dòng)提出把研究成果寫成論文，并建議 Anthropic 找真正的人類數(shù)論專家進(jìn)行驗(yàn)證。

Levent Alp?ge

因此，Anthropic 內(nèi)部?jī)晌粩?shù)學(xué)家 Levent Alp?ge 和 Ralph Furman 開始檢查 Claude 的工作，研究這項(xiàng)新結(jié)果與此前文獻(xiàn)之間的關(guān)系，并整理出一份更加簡(jiǎn)潔的證明說明。

與此同時(shí)，Claude 又和 Anthropic 員工 Eric Easley 合作，將核心結(jié)果寫成了一份 Lean 形式化證明，目前已經(jīng)通過 comparator 驗(yàn)證工具的檢查。

Anthropic 還邀請(qǐng)了這一領(lǐng)域的兩位專家 Brian Conrey 和 Dan Goldston，在較短時(shí)間內(nèi)審閱了相關(guān)論文。

不過這里需要強(qiáng)調(diào)一下，Lean 驗(yàn)證通過，意味著被形式化進(jìn)去的證明過程符合嚴(yán)格的邏輯規(guī)則；專家審閱也不等同于一項(xiàng)成果已經(jīng)經(jīng)過漫長(zhǎng)、完整的學(xué)術(shù)共同體檢驗(yàn)。

截至目前，更準(zhǔn)確的狀態(tài)是：Anthropic 已經(jīng)完成了內(nèi)部數(shù)學(xué)家檢查和形式化驗(yàn)證，并邀請(qǐng)相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜覍忛?，接下來還要等待更廣泛的數(shù)學(xué)界繼續(xù)檢驗(yàn)。

Claude 最不相信的人，居然是 Claude 自己

Anthropic 自己也很清楚，這項(xiàng)結(jié)果距離 AI 證明黎曼猜想「還有十萬八千里」。

Anthropic 官方明確表示，他們并不認(rèn)為 Claude 目前使用的這套技術(shù)能夠一路繼續(xù)推進(jìn)，最終解決黎曼猜想。

真正讓他們感興趣的，是整個(gè)發(fā)現(xiàn)過程。

過去我們衡量 AI 數(shù)學(xué)能力，經(jīng)?？?IMO 能做幾道題，或者某個(gè) benchmark 能拿多少分。這類題再難，答案至少已經(jīng)存在，模型需要尋找的是一條通往已知答案的路線。

開放數(shù)學(xué)研究完全是另一回事。沒人提前知道答案是什么，也沒人知道哪條路線一定正確。

Claude 這次接到的是一個(gè)人類至今沒有解決的開放問題，它連續(xù)嘗試了 650 個(gè)失敗方案，組織 60 個(gè)子 Agent 搜索和驗(yàn)證，閱讀前人研究，進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，再把幾組已有數(shù)學(xué)工具重新組合，最后得出了一個(gè)意外的新結(jié)果。

最有意思的是，Anthropic 透露，Claude 自己一開始甚至對(duì)取得真正的新進(jìn)展頗為懷疑。一種可能是，它在訓(xùn)練數(shù)據(jù)里讀過太多關(guān)于數(shù)學(xué)開放問題有多難、AI 在科研上有多少局限的內(nèi)容，結(jié)果反而把這種「常識(shí)」也學(xué)了進(jìn)去。

最后卻是人類在旁邊一句又一句「繼續(xù)」「相信自己」，讓它一直嘗試了下去。Anthropic 在文章結(jié)尾也忍不住調(diào)侃，或許 Claude 和很多人一樣，都低估了 AI 能力進(jìn)步的速度。

Jacob Tsimerman

前陣子，菲爾茲獎(jiǎng)被戲稱為人類的最后一屆菲爾茲獎(jiǎng)。新晉菲爾茲獎(jiǎng)得主 Jacob Tsimerman 獲獎(jiǎng)當(dāng)天宣布加入 OpenAI，或許也正是看到了 AI 如今的發(fā)展速度。

以后數(shù)學(xué)研究大概率越來越多地出現(xiàn)類似場(chǎng)景：一個(gè)人提出研究問題，幾十個(gè) AI 同時(shí)翻論文、寫程序、驗(yàn)證猜想、互相審稿，再由人類數(shù)學(xué)家判斷其中哪些路線真正值得繼續(xù)？

甚至可以再往前一步，當(dāng)過去只能串行進(jìn)行的研究，變成幾十個(gè)、上百個(gè) Agent 同時(shí)探索不同路線，AI 帶給數(shù)學(xué)家的可能也不只是一個(gè)更快的計(jì)算器。那些過去因?yàn)闀r(shí)間、精力和閱讀規(guī)模有限而來不及嘗試的想法，會(huì)第一次擁有被大規(guī)模驗(yàn)證的機(jī)會(huì)。

Claude 今天也沒能翻過這座困住人類 167 年的大山，黎曼猜想仍然橫亙?cè)谀抢?。只是從今往后，那些曾?jīng)只能由少數(shù)天才獨(dú)自跋涉的數(shù)學(xué)無人區(qū)，如今逐漸有了來自 AI 的同行者。

附上官方博客地址：

https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta

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